Всего: 335 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Вычтем из него число 
делящееся на 37. Получим, что число 
делится на 37, чего быть не может. Остальные случаи равенства цифр рассматриваются аналогично.Сколькими способами можно покрасить буквы слова КОЛОБОК в синий, красный и зеленый цвета так, чтобы, во-первых, одинаковые буквы были разного цвета, а, во-вторых, буквы, стоящие рядом тоже были бы разного цвета.
способов.
решений нет. Перебирая y = 2 и y = 1, получим единственное решение x = 2, y = 1.
для дробей в левой части неравенства. 
что и доказывает исходное неравенство.Точки A, B и C лежат на окружности с центром в точке O. Луч OB вторично пересекает описанную около треугольника AOC окружность в точке D, причем точка B оказалась внутри этой окружности. Докажите, что AB — биссектриса угла DAC.
Квадратные трехчлены g(x) и h(x) имеют одинаковые старшие коэффициенты, а их графики касаются графика квадратного трехчлена f(x). Докажите, что абсцисса точки пересечения графиков g(x) и h(x) лежит точно между абсциссами упомянутых точек касания.
что и требовалось доказать.
в правую нижнюю?
Сколькими способами можно покрасить буквы слова БАРАБАН в синий, красный и зеленый цвета так, чтобы, во-первых, одинаковые буквы были разного цвета, а, во-вторых, буквы, стоящие рядом тоже были бы разного цвета.
способа.
даёт остатки 7 и 1, значит, при 
решений нет. Перебирая 
и 
получаем один ответ.
На стороне AC правильного треугольника ABC отмечена точка K, такая что AK : KB = 1 : 2. На стороне BC отметили точку L, а на стороне AC — точку M, так что сумма длин KL + LM + MB минимальна. Найдите отношение CM : MA.
и 
Затем отразим точку B относительно 
и получим 
и 
лежат на одной прямой. По теореме Фалеса (или по теореме о средней линии треугольника) 
поэтому 
Точки B, C и D лежат на окружности с центром в точке A. Луч AC вторично пересекает описанную около треугольника ABD окружность в точке E, причем точка C оказалась внутри этой окружности. Докажите, что DC — биссектриса угла EDB.
Квадратные трехчлены f(x) и g(x) имеют одинаковые старшие коэффициенты, а их графики касаются графика квадратного трехчлена h(x). Докажите, что абсцисса точки пересечения графиков f(x) и g(x) лежит точно между абсциссами упомянутых точек касания.
и 
по одному корню. Старшие коэффициенты у них при этом одинаковы, поэтому их можно представить как 
и 
очевидно, имеет ту же абсциссу, что и точка пересечения графиков 
и 
и 
равны по абсолютной величине. Равенства быть не может, так как иначе 
и 
совпадают и 
- это один и тот же трёхчлен. Значит, 
откуда 
что и требовалось.
в правую нижнюю?
Тогда сумма первых шести членов — это 
а сумма следующих четырёх равна 
Приравнивая эти величины, получаем 
откуда 
Кроме того, 
и 
Следовательно, треугольники 
и 
равны, откуда получаем требуемое равенство углов.
где d — делитель 1000. Для каждого числа d таким образом существует единственное число x и 
пара 
(так как y может принимать значения от 1 до 
а z после этого определён однозначно). Таким образом, искомое количество решений — это сумма всех делителей 1000 минус их количество, 
неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для 9 чисел: одного числа x, трёх чисел y и пяти чисел z. Получим 
практически эквивалентно задаче и требует доказательства.